mardi 17 mai 2016

Loi normale ou loi de Gauss

En probabilité, on dit qu'une variable aléatoire réelle X suit uneloi normale (ou loi normale gaussienne, loi de Laplace-Gauss) d'espérance μ et d'écart type σ strictement positif (donc de variance σ²) si cette variable aléatoire réelle X admet pour densité de probabilité la fonction p(x) définie, pour tout nombre réel x, par :

$p(x)\ =\ \tfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\ \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$

Une telle variable aléatoire est alors dite variable gaussienne.

On note habituellement cela de la manière suivante :

$X \sim \mathcal{N}(\mu,\, \sigma^2)$

La loi normale est une des principales distributions de probabilité. Elle a été introduite par le mathématicien Abraham de Moivre en 1733 et utilisée par lui afin d'approcher des probabilités associées à des variables aléatoires binomiales possédant un paramètre n très grand.

Cette loi normale a été mise en évidence par Monsieur Gauss au XIX^e siècle et permet de modéliser de nombreuses études biométriques. Sa densité de probabilité dessine une courbe dite courbe en cloche ou courbe de Gauss.

Cours video sur la loi normale

Pour en savoir plus sur la loi normale ou loi de Gauss,

Loi de probabilité

En théorie des probabilités et en statistique, une loi de probabilité décrit soit les probabilités de chaque valeur d'une variable aléatoire (quand la variable aléatoire est discrète), soit la probabilité que la variable aléatoire appartienne à un intervalle arbitraire (quand la variable est continue). La loi de probabilité décrit l'ensemble des valeurs qu'une variable aléatoire peut atteindre et la probabilité que la valeur de la variable aléatoire soit dans n'importe quel sous ensemble (mesurable) de cet ensemble.

Quand la variable aléatoire prend ses valeurs dans R la loi de probabilité est complètement déterminée par sa fonction de répartition, dont la valeur en chaque réel x est la probabilité que la variable aléatoire soit inférieure ou égale à x.

Le concept de loi de probabilité (et le concept de variable aléatoire) sont les fondements des disciplines mathématiques appelées théorie des probabilités, et statistique. Il y a de la fluctuation ou de la variabilité dans presque toute valeur qui peut

être mesurée dans une population (par exemple la taille des individus, la durabilité d'une pièce de métal, etc.) ; presque toutes les mesures ont une part d'erreur intrinsèque ; en physique, de nombreux processus ont une description probabiliste, de la théorie cinétique des gaz à la description quantique des particules élémentaires. Pour ces raisons en particulier, et pour beaucoup d'autres raisons, de simples nombres sont souvent inadéquats pour décrire une quantité, alors qu'une loi de probabilité est plus appropriée.

Bien des lois de probabilités apparaissent dans les applications. Une des plus importantes est la loi normale, qui est aussi connue sous le nom de distribution gaussienne ou de courbe en cloche et qui approxime de nombreuses lois de probabilités apparaissant dans les applications. Le jet d'une pièce donne lieu à une autre loi de probabilité naturelle, dont les valeurs possibles sont pile ou face, chacune avec probabilité 1/2.

Une loi de probabilité se caractérise de différentes manières. Le plus souvent, on utilise la fonction de répartition pour caractériser une loi. Cela présente l'avantage d'être valable aussi bien pour les lois discrètes que continues. Dans le cas d'une loi continue, on utilise très souvent la densité, alors que dans le cas discret, la donnée des probabilités élémentaires suffit à caractériser la loi en question.

Statisticien

Le statisticien utilise des statistiques théoriques et appliquées dans le secteur privé et le secteur public. Le cœur du travail est de mesurer, interpréter et décrire le monde en combinant généralement l'interprétation statistique avec des fortes connaissances sur le domaine d'étude.

Les domaines d'applications sont très variés : la production, la recherche, les finances, la médecine, l'assurance et les statistiques descriptives au sujet de la société. Les statisticiens sont souvent employés en tant qu'aide à la décision.

Ils effectuent des recherches sur des concepts, des théories, des procédés et des méthodes statistiques, sous leurs aspects mathématiques et autres, les améliorent, et donnent des avis sur leurs applications dans des domaines tels que le commerce, la médecine, les sciences sociales et autres, ou les appliquent eux-mêmes.

Le rôle du statisticien

Les tâches des statisticiens consistent :

à étudier, améliorer et mettre au point des théories et des méthodologies statistiques ;
à préparer et organiser des enquêtes et d'autres collectes de données statistiques, et à mettre au point des questionnaires ;
à évaluer, traiter, analyser et interpréter des données statistiques et à les préparer en vue de leur publication ;
à donner des avis sur divers modes de collecte des données, sur des méthodes et techniques statistiques, ou à les appliquer eux mêmes, et à déterminer la fiabilité des résultats de leur application, en particulier dans des domaines tels que le commerce ou la médecine ainsi que d'autres secteurs des sciences naturelles, des sciences sociales ou des sciences de la vie ;
à préparer des communications scientifiques et des rapports ;
à s'acquitter de fonctions connexes ;
à surveiller d'autres travailleurs.

Parmi les professions qui entrent dans ce groupe de base figurent les suivantes : démographe, statisticien, statisticien mathématicien, statisticien en statistiques appliquées...

Parmi les professions apparentées, classées ailleurs, figurent les suivantes : assistant statisticien, employé, service statistique...

Pour apprendre le métier de statisticien, suivez des cours de statistiques.

Estimateur statistique

En mathématiques, un estimateur permet d'évaluer unparamètre statistique numérique comme une grandeur moyenne ou une variance sur une population totale à partir de données obtenues sur un échantillon comme par exemple lors d'un sondage.

La définition et l'utilisation de tels estimateurs constitue la statistique inférentielle. La qualité des estimateurs s'exprime par leur convergence, leur biais, leur efficacité et leur robustesse. Diverses méthodes permettent d'obtenir des estimateurs de qualités différentes.

Exemples d'estimateurs

Si l'on cherche à évaluer la taille moyenne des enfants de 10 ans, on peut effectuer un sondage sur un échantillon de la population des enfants de 10 ans (par exemple en s'adressant à des écoles réparties dans plusieurs milieux différents).

La taille moyenne calculée sur cet échantillon, appelée moyenne empirique, sera un estimateur de la taille moyenne des enfants de 10 ans. Si l'on cherche à évaluer la surface totale occupée par la jachère dans un pays donné, on peut effectuer un sondage sur plusieurs portions du territoire de même taille, calculer la surface moyenne occupée par la jachère et appliquer une règle de proportionnalité.

Si l'on cherche à déterminer le pourcentage d'électeurs décidés à voter pour le candidat A, on peut effectuer un sondage sur un échantillon représentatif. Le pourcentage de votes favorables à A dans l'échantillon est un estimateur du pourcentage d'électeurs décidés à voter pour A dans la population totale. Si l'on cherche à évaluer la population totale de poissons dans un lac, on peut commencer par ramasser n poissons, les baguer pour pouvoir les identifier ultérieurement, les relâcher, les laisser se mélanger aux autres poissons.

On tire alors un échantillon de poissons du lac, on calcule la proportion p de poissons bagués. La valeur n/p est un estimateur de la population totale de poissons dans le lac. S'il n'y a aucun poisson bagué dans l'échantillon, on procède à un autre tirage. Un estimateur est très souvent une moyenne, une population totale, une proportion ou une variance.

Estimateurs et loi de probabilité

Le fait de pouvoir estimer une espérance et une variance permet alors d'estimer les paramètres d'une distribution (loi normale, loi de Poisson etc.). En probabilité, on cherche parfois à valider une loi de probabilité théorique à l'aide d'une expérience statistique.

Dans le cas d'une variable discrète finie, on prend comme estimateur de chaque probabilité pk, la fréquence fk dans l'échantillon. Les valeurs fk étant des variables aléatoires, il est normal que ces estimateurs ne coïncident pas complètement avec les valeurs pk.

Pour vérifier si les différences trouvées sont significatives ou non, on effectue des tests d'adéquations dont le plus connu est le test du χ².

Pour en savoir plus sur les estimateurs statistiques, suivez des cours de statistiques.

Statistique mathématique

Les statistiques, dans le sens populaire du terme, traitent des populations. En statistique descriptive, on se contente de décrire un échantillon à partir de grandeurs comme la moyenne, la médiane, l'écart type, la proportion, la corrélation, etc. C'est souvent la technique qui est utilisée dans les recensements.

Dans un sens plus large, la théorie statistique est utilisée en recherche dans un but inférentiel. Le but de l'inférence statistique est de dégager le portrait d'une population donnée, à partir de l'image plus ou moins floue constituée à l'aide d'un échantillon issu de cette population.

Dans un autre ordre d'idées, il existe aussi la statistique « mathématique » où le défi est de trouver des estimateurs judicieux (non biaisées et efficients). L'analyse des propriétés mathématiques de ces estimateurs sont au cœur du travail du mathématicien spécialiste de la statistique.

La statistique mathématique repose sur la théorie des probabilités. Des notions comme la mesurabilité ou la convergence en loi y sont souvent utilisées. Mais il faut distinguer la statistique en tant que discipline et la statistique en tant que fonction des données.

Une fois les bases de la théorie des probabilités acquises, il est possible de définir une statistique à partir d'une fonction

S

mesurable à

n

arguments. Lorsque les valeurs $x_1,\ldots,x_n$ sont des réalisations d'une même variable aléatoire

X

, on note :

S(X) = S(x1,...,xn)

La loi de

S (X)

dépend uniquement de la loi de

X

et de la forme de

S

Pour en savoir plus sur les statistiques mathématiques, suivez des cours de statistiques.

Statistiques

La statistique est d'un point de vue théorique une science, une méthode et une technique. Les statistiques sont le produit des analyses reposant sur l'usage de la statistique.

La statistique comprend:
la collecte des données ;
le traitement des données collectées, aussi appelé la statistique descriptive ;
l'interprétation des données, aussi appelée l'inférence statistique, qui s'appuie sur la théorie des sondages et la statistique mathématique.
la présentation afin de rendre les données compréhensibles par tous

Ce domaine des mathématiques ne doit pas être confondu avec une statistique qui est un nombre calculé à partir d'observations. Pour un article (plus technique) sur une statistique consultez l'article statistique.

Cette distinction ne consiste pas à définir plusieurs domaines étanches. En effet, le traitement et l'interprétation des données ne peuvent se faire que lorsque celles-ci ont été collectées. La statistique a des règles et des méthodes sur la collecte des données, pour que celles-ci puissent être correctement interprétées.

John Tukey disait qu'il y a deux approches en statistiques, entre lesquelles on jongle constamment : les statistiques exploratoires et les statistiques confirmatoires (exploratory and confirmatory statistics) :

on explore d'abord les données pour avoir une idée qualitative de leurs propriétés ;
puis on fait des hypothèses de comportement que l'on confirme ou infirme en recourant à d'autres techniques statistiques

Une statistique est, au premier abord, le résultat d'une suite d'opérations appliquées à un ensemble de nombres appelé échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble de données.

Dans le calcul de la moyenne arithmétique, par exemple, l'algorithme consiste à calculer la somme de toutes les valeurs des données et à diviser par le nombre de données. La moyenne est ainsi une statistique. Pour être complet dans la description de l'utilisation d'une statistique, il faut décrire à la fois la procédure et l'ensemble de données.

De façon formelle bien que cela soit rarement utilisé une statistique est une variable aléatoire d'un type particulier. C'est en effet une fonction d'un vecteur composée de plusieurs observations d'une loi.

Cela permet entre autres d'étendre aux statistiques un certain nombre de résultats sur les variables aléatoires entre autres le caractère indépendant de deux statistiques ou calculer des densités de statistiques. Parmi les statistiques un certain nombre ont des propriétés particulières qui servent entre autres en Inférence statistique pour l'estimation statistique.

Les estimateurs servent, comme leur nom l'indique, à estimer des paramètres statistiques. L'optimisation de ces estimateurs peut également faire intervenir des statistiques auxiliaires vérifiant certaines propriétés et qui permettent de faire converger plus vite ces estimateurs.

Pour en savoir plus sur les statistiques, suivez des cours de statistiques.

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Analyse les nombres, les regrouper, les comparer, les statistiques permettent de comparer les choses et de donner des ordre de grandeur et ainsi analyser des données et chiffres et permettre d'envisager des stratégies, actions en fonction des données receuillies. Cours de statistiques

Apprenez à reconnaître et utiliser les différentes lois de probabilité pour vos analyses statistiques.

Formation en statistiques, Maîtrisez les statistiques et leurs applications.

La statistique est d'un point de vue théorique une science, une méthode et une technique. Les statistiques sont le produit des analyses reposant sur l'usage de la statistique.

Le but de la statistique est d'extraire des informations pertinentes d'une liste de nombres difficile à interpréter par une simple lecture.

Le statisticien utilise des statistiques théoriques et appliquées dans le secteur privé et le secteur public. Le cœur du travail est de mesurer, interpréter et décrire le monde en combinant généralement l'interprétation statistique avec des fortes connaissances sur le domaine d'étude.

Les domaines d'applications des statistiques sont très variés : la production, la recherche, les finances, la médecine, l'assurance et les statistiques descriptives au sujet de la société. Les statisticiens sont souvent employés en tant qu'aide à la décision.