Estimateur statistique

En mathématiques, un estimateur permet d'évaluer unparamètre statistique numérique comme une grandeur moyenne ou une variance sur une population totale à partir de données obtenues sur un échantillon comme par exemple lors d'un sondage.

La définition et l'utilisation de tels estimateurs constitue la statistique inférentielle. La qualité des estimateurs s'exprime par leur convergence, leur biais, leur efficacité et leur robustesse. Diverses méthodes permettent d'obtenir des estimateurs de qualités différentes.

Exemples d'estimateurs

Si l'on cherche à évaluer la taille moyenne des enfants de 10 ans, on peut effectuer un sondage sur un échantillon de la population des enfants de 10 ans (par exemple en s'adressant à des écoles réparties dans plusieurs milieux différents).

La taille moyenne calculée sur cet échantillon, appelée moyenne empirique, sera un estimateur de la taille moyenne des enfants de 10 ans. Si l'on cherche à évaluer la surface totale occupée par la jachère dans un pays donné, on peut effectuer un sondage sur plusieurs portions du territoire de même taille, calculer la surface moyenne occupée par la jachère et appliquer une règle de proportionnalité.

Si l'on cherche à déterminer le pourcentage d'électeurs décidés à voter pour le candidat A, on peut effectuer un sondage sur un échantillon représentatif. Le pourcentage de votes favorables à A dans l'échantillon est un estimateur du pourcentage d'électeurs décidés à voter pour A dans la population totale. Si l'on cherche à évaluer la population totale de poissons dans un lac, on peut commencer par ramasser n poissons, les baguer pour pouvoir les identifier ultérieurement, les relâcher, les laisser se mélanger aux autres poissons.

On tire alors un échantillon de poissons du lac, on calcule la proportion p de poissons bagués. La valeur n/p est un estimateur de la population totale de poissons dans le lac. S'il n'y a aucun poisson bagué dans l'échantillon, on procède à un autre tirage. Un estimateur est très souvent une moyenne, une population totale, une proportion ou une variance.

Estimateurs et loi de probabilité

Le fait de pouvoir estimer une espérance et une variance permet alors d'estimer les paramètres d'une distribution (loi normale, loi de Poisson etc.). En probabilité, on cherche parfois à valider une loi de probabilité théorique à l'aide d'une expérience statistique.

Dans le cas d'une variable discrète finie, on prend comme estimateur de chaque probabilité pk, la fréquence fk dans l'échantillon. Les valeurs fk étant des variables aléatoires, il est normal que ces estimateurs ne coïncident pas complètement avec les valeurs pk.

Pour vérifier si les différences trouvées sont significatives ou non, on effectue des tests d'adéquations dont le plus connu est le test du χ².

Pour en savoir plus sur les estimateurs statistiques, suivez des cours de statistiques.