En mathématiques, une loi binomiale de paramètres n et p est une loi de probabilité qui correspond à l'expérience suivante :

On renouvelle n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p (expérience aléatoire à deux issues possibles, généralement dénommées respectivement « succès » et « échec », la probabilité d'un succès étant p, celle d'un échec étant

q = (1 - p)

). On compte alors le nombre de succès obtenus à l'issue des n épreuves et on appelle X la variable aléatoire correspondant à ce nombre de succès.

L'univers $X(\Omega )~$ désigne l'ensemble des entiers naturels de 0 àn.

La variable aléatoire suit une loi de probabilité définie par :

$p(k) = P(X = k)= {n \choose k} \, p^k q^{n-k}$

Cette formule fait intervenir le nombre des combinaisons de k éléments parmi n, généralement notée ${n\choose k}$ ou $\mathrm{C}_{n}^{k}$ , la première notation était préconisée en France pour l'enseignement des mathématiques en terminale scientifique jusque 2004. Notons que ce nombre de combinaisons se distingue du nombre des arrangements de k éléments parmi n, $A^k_n = \dfrac{n!}{(n-k)!}$ , du fait que dans une combinaison l'ordre des éléments n'importe pas. Et comme il y a k! (prononcer factorielle k) façons d'ordonner k éléments, le nombre des combinaisons se déduit du nombre des arrangements par la simple division $\dfrac{A^k_n}{k!}\,$ et on obtient :

${n\choose k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Cette loi de probabilité s'appelle la loi binomiale de paramètre (n ; p) et se note B(n ; p).

Calcul de p(k)

Une épreuve de Bernoulli conduit à la création d'un univers Ω = {S ; E}, (S pour Succès et E pour Echec).

n épreuves de Bernoulli indépendantes conduisent à la création d'un univers Ωⁿ constitué de n-uplets d'éléments de Ω, sur lequel peut se définir une probabilité produit. La probabilité de l'éventualité (S, S, ..., S, E, E, ..., E) avec ksuccès et n - k échecs a donc pour valeur

p k q n - k

Plus généralement, tout n-uplet formé de k succès et de n-k échecs aura pour probabilité

p k q n - k

quel que soit l'ordre d'apparition des S et des E.

L'évènement « X = k » est formé de tous les n-uplets comportant k succès et n - k échecs. La combinatoire permet de déterminer le nombre de n-uplets de ce type : il y en a autant que de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments ; or chaque partie correspond à une façon de placer les k succès parmi les n places du n-uplet. Il y a donc ${n \choose k}$ n-uplets, chacun ayant une probabilité égale à

p k q n - k

Donc $P(X = k) = {n \choose k} \, p^k (1-p)^{n-k} = {n \choose k} \, p^k q^{n-k}$ .

Pour en savoir plus sur la loi binomiale et les différentes lois de probabilité, suivez des cours de statistiques.

Cours de statistique

mardi 17 mai 2016

Loi Binomiale B(n,p)

En mathématiques, une loi binomiale de paramètres n et p est une loi de probabilité qui correspond à l'expérience suivante :

Calcul de p(k)

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