mardi 17 mai 2016

Probabilité mathématique, facile à comprendre

Ce cours de statistiques en video vous présente comment comprendre facilement les probabilités mathématiques.

À l'aide d'un jeu de carte nous vous ferons comprendre ce que c'est que la probabilité, ses applications et autres. Vous vous rendrez vite compte que vous en faites usage tous les jours!

Découvrez notre sélection concernant les probabilité en cliquant ici !

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Logiciels de statistiques


Il existe de très nombreux logiciels destiné à l'analyse statistique. Nous avons souhaité vous présenter les principaux logiciels de statistiques existant sur le marché.

Logiciels statistiques commerciaux

  • AMOS (Analysis of MOment Structures)
  • Analytica - logiciel de modélisation visuelle,
  • APIQual - Logiciel de spc / msp simplifie temps reel, les bases des statistiques pour les opérateurs.
  • ASReml - pour l'analyse de ressemblance,
  • B34S - un des logiciels les plus compréhensibles techniquement,
  • CORICO - plan d'expériences, analyse de données, Iconographie des corrélations, séries temporelles,
  • CHARTrunner - pour des schéma d'amélioration de la qualité,
  • EasyFit - logiciel pour la distribution des probabilités,Logiciels de statistiques
  • EViews - pour l'économétrie,
  • GAUSS - langage de programmation pour les statistiques,
  • GenStat - statistiques générales,
  • IMSL - bibliothèques mathématiques et statistiques,
  • JMP - statistiques générales,
  • KITTAG - plans d'expériences Taguchi + Plans de mélange,
  • Le sphinx - traitement statistique des données d'enquêtes d'opinion,
  • MATLAB - langage de programmation ayant des caractéristiques de statistiques,
  • Mentor - pour la recherche de marché,
  • Minitab - statistiques générales,
  • Modalisa, simple, adapté aux questionnaires
  • O-Matrix - langage de programmation,
  • Point Horizon - statistiques et analyse non-linéaire (pour la prédiction de séries et l'approximation de système)
  • PRISM - grapheur scientifique en 2D et 3D avec des fonctions statistiques orientées sciences biomédicales,
  • RATS - pour l'analyse des séries temporelles,
  • SAS - un des logiciels les plus complets techniquement
  • SHAZAM - pour l'économétrie,
  • SOSstat - logiciel de statistique appliqué à la qualité,
  • SPAD 7 - le logiciel français d'analyse de données, de statistique et de data mining,
  • SPSS - un des logiciels les plus compréhensibles techniquement,
  • Stata - statistiques générales,
  • Statgraphics
  • Statistica - statistiques générales, data mining et informatique décisionnelle
  • Stat/Transfer - transfert de données statistiques entre différents formats de fichier,
  • StatXact
  • SOCR - outils en ligne d'apprentissage des statistiques et de la théorie des probabilités,
  • Systat - statistiques générales,
  • S-PLUS - statistiques générales,
  • Vitalnet - pour l'analyse des données de santé,
  • XploRe

Add-ons statistiques pour logiciels

  • Analyse-it - add-on à Microsoft Excel pour l'analyse statistique,
  • SUDAAN - add-on à SAS et SPSS pour les études statistiques,
  • Unistat - statistiques générales fonctionnant aussi avec Excel,
  • XLSTAT - Statistiques générales et analyse de données, fonctionnant depuis Excel
  • StatEL - Module d'analyse statistique généraliste, biomédicale et d'analyse factorielle sur Excel, accessible aux non-professionnels de la statistique

Logiciels statistiques Open-source

  • Apohenia - une bibliothèque de fonctions statistiques pour le C
  • Bayesian Filtering Library
  • gretl - Gnu Regression, Econometrics and Time-series Library
  • JMulTi
  • OpenBUGS
  • PSPP
  • R - un langage de programmation pour les statistiques,
  • SciGraphica
  • Shogun - une boite à outils pour l'Apprentissage automatique
  • SOCR
  • Statistiklabor (de) - basé sur R et développé à des fins éducatives
  • Tanagra - Université Lumière Lyon 2
  • Weka - logiciel d'apprentissage automatique écrit par l'université du Waikato en Nouvelle-Zélande
  • WinBUGS

Logiciels statistiques appartenant au domaine public

  • CDC Epi Info Epidemiologic statistics, tables, graphs, and maps
  • CDC EZ-Text
  • CSPro - Census and Survey Processing System
  • X-12-ARIMA (en)

logiciels de statistiques gratuits

  • WinIDAMS
  • BV4.1
  • GenStat Discovery Edition - version de GenStat à utiliser gratuitement dans les pays en développement,
  • web:reg
  • xLispStat, un logiciel libre multi-plateformes d'analyse statistique.
Il existe de très nombreux autres logiciels de statistiques gratuits.
pour apprendre à utiliser ces logiciels de statistiques, prenez des cours de statistiques.
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Loi Discrète


En théorie des probabilités, la loi discrète uniforme est une loi de probabilité discrète indiquant une probabilité de se réaliser identique (équiprobabilité) à chaque valeur d’un ensemble fini de valeurs possibles.

Une variable aléatoire qui peut prendre n valeurs possibles k1 ,k2, ... , kn équiprobables, suit une loi uniforme lorsque la probabilité de n’importe quelle valeur ki  est égale à 1/n.
Un exemple simple de loi discrète uniforme est le lancer d’un dé honnête. Les valeurs possibles de k sont 1, 2, 3, 4, 5, 6; et à chaque fois que le dé est lancé, la probabilité d’un score donné est égale à 1/6.
Dans le cas où les valeurs d’une variable aléatoire suivant une loi discrète uniforme sont réelles, il est possible d’exprimer la fonction de répartition en termes de distribution déterministe ; ainsi
Loi DiscrèteF(k;a,b,n)={1\over n}\sum_{i=1}^n H(k-k_i)
où H(x-x0 ) désigne la fonction marche de Heaviside, est la fonction de répartition (ou distribution cumulative) de la distribution déterministe centrée enx0 , aussi appelée masse de Dirac en x0 . Cela suppose que les hypothèses suffisantes soient vérifiées aux points de transition.
Pour en savoir plus sur la loi discrète et les différentes lois de probabilité, suivez des cours de statistiques. 
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Loi de Bernouilli


En mathématiques, la distribution de Bernoulli ou loi de Bernoulli, du nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli, est une distribution discrète de probabilité, qui prend la valeur 1 avec la probabilité p et 0 avec la probabilité \scriptstyle\ q = 1 - p.

\mathbb{P}(X=x) = \left\{\begin{array}{ll} p &\quad\mbox {si }x=1, \\ 1-p &\quad\mbox {si }x=0, \\ 0 &\quad\mbox {sinon.}\end{array}\right.
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire de Bernoullivaut p et la variance vaut p(1-p).
Le kurtosis tend vers l'infini pour des valeurs hautes et basses dep, mais pour \scriptstyle\ p=1/2\  la distribution de Bernoulli a un kurtosis plus bas que toute autre distribution, c’est-à-dire 1.
Loi de BernoulliUne variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli est appelée variable de Bernoulli.
La loi de Bernoulli est la loi de la variable aléatoire qui code le résultat d'une épreuve de Bernoulli de la manière suivante : 1 pour "succès", 0 pour "échec", ou quel que soit le nom qu'on donne aux deux issues d'une épreuve de Bernoulli.
Plus généralement, toute application mesurable à valeur dans {0,1} est une variable de Bernoulli. Autrement dit, toute fonction indicatrice mesurable suit la loi de Bernoulli.
Réciproquement, pour toute variable de Bernoulli X définie sur (Ω,A,P), on peut trouver un ensemble mesurable B tel que X et la fonction indicatrice de B soient presque sûrement égales : toute variable de Bernoulli est presque sûrement égale à une fonction indicatrice.
Pour en savoir plus sur la loi de Bernoulli et les différentes lois de probabilité, suivez des cours de statistiques.
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Loi de Student

La loi de Student est une loi de probabilité, faisant intervenir le quotient entre une variable suivant une loi normale centrée réduite et la racine carrée d'une variable distribuée suivant la loi du χ².
Soit Z une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite et soit U une variable indépendante de Z et distribuée suivant la loi du χ² à k degrés de liberté. Par définition la variable
T = \frac{Z}{\sqrt{U/k}}
suit une loi de Student à k degrés de liberté.
La densité de \scriptstyle\ T, notée \scriptstyle\ f_T, est donnée par :
f_T(t)=\frac{1}{\sqrt{k\pi}}\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})}\frac{1}{(1+\frac{t^2}{k})^{\frac{k+1}{2}}}, pour k ≥ 1.
Loi de Studentoù Γ est la fonction Gamma d'Euler.
La densité \scriptstyle\ f_T\  associée à la variable \scriptstyle\ T\  est symétrique, centrée sur 0, en forme de cloche.
Son espérance ne peut pas être définie pour k = 1, et est nulle pour k> 1.
Sa variance est infinie pour k ≤ 2 et vaut \frac{k}{k-2} pour k > 2.
Pour en savoir plus sur la loi de student et les différentes lois de probabilité, suivez des cours de statistiques.
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Loi Exponentielle E(l)


Une loi exponentielle correspond au modèle suivant:

X est une variable aléatoire définissant la durée de vie d'un phénomène. Si l'espérance de vie du phénomène est E(X) et si la durée de vie est sans vieillissement, c'est-à-dire si la durée de vie au-delà de l'instant T est indépendante de l'instant T, alors X a pour densité de probabilité :
  • f(t) = 0 si t < 0
  • f(t) = \dfrac{1}{E(X)}\mathrm{e}^{-\frac{t}{E(X)}} pour tout t ≥ 0.
On dit que X suit une loi exponentielle de paramètre  \lambda = \dfrac{1}{E(X)}
Loi ExponentielleDe façon plus formelle on peut caractériser la loi exponentielle de la façon suivante:
\forall (s, t)\in \R^{+\,2},\; \mathbb{P}(X>s+t|X>t)=\mathbb{P}(X>s)
Une loi à valeurs dans \R^+ qui vérifie cette propriété est alors exponentielle et toute loi exponentielle vérifie cette probabilité. Cette propriété traduit l'absence de mémoire de la loi exponentielle. Par exemple, la probabilité qu'un phénomène se produise entre les temps t et t+s s'il ne s'est pas produit avant est la même que la probabilité qu'il se produise entre les temps 0 et s.
On peut oublier l'instant de départ pour modéliser la probabilité. Cette caractérisation est importante car elle permet de montrer que certains phénomènes peuvent être modélisés par une distribution exponentielle. Cette loi permet entre autres de modéliser la durée de vie de la radioactivité ou d'un composant électronique.
Pour en savoir plus sur la loi exponentielle et les différentes lois de probabilité, suivez des cours de statistiques.
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Loi Normale centrée réduite


On appelle loi normale (ou gaussienne) centrée réduite la loi définie par la densité de probabilité \varphi : \R \to \R^+ définie par :

\varphi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\;\pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}
On vérifie que la loi normale centrée réduite est continue et que son intégrale sur \ \R est égale à 1.
On sait en effet que \ \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}\, \mathrm{d}t = \sqrt{2\, \pi} (intégrale de Gauss).
On démontre (voir plus bas) que la loi définie par cette densité de Loi Normale centrée réduiteprobabilité admet une espérance nulle et une variance égale à 1.
Remarques :
  • la densité \ \varphi est paire ;
  • elle est indéfiniment dérivable et vérifie, pour tout \ t \in \R, l'identité \varphi'(t) = - t\, \varphi(t).
La représentation graphique de cette densité est une courbe en cloche (ou courbe de Gauss).
Pour en savoir plus sur la loi Normale centrée réduite et les différentes lois de probabilité, suivez des cours de statistiques.
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