mardi 17 mai 2016

Loi de Student

La loi de Student est une loi de probabilité, faisant intervenir le quotient entre une variable suivant une loi normale centrée réduite et la racine carrée d'une variable distribuée suivant la loi du χ².
Soit Z une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite et soit U une variable indépendante de Z et distribuée suivant la loi du χ² à k degrés de liberté. Par définition la variable

$T = \frac{Z}{\sqrt{U/k}}$

suit une loi de Student à k degrés de liberté.

La densité de $\scriptstyle\ T,$ notée $\scriptstyle\ f_T,$ est donnée par :

$f_T(t)=\frac{1}{\sqrt{k\pi}}\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})}\frac{1}{(1+\frac{t^2}{k})^{\frac{k+1}{2}}},$ pour k ≥ 1.

où Γ est la fonction Gamma d'Euler.

La densité $\scriptstyle\ f_T\$ associée à la variable $\scriptstyle\ T\$ est symétrique, centrée sur 0, en forme de cloche.

Son espérance ne peut pas être définie pour k = 1, et est nulle pour k> 1.

Sa variance est infinie pour k ≤ 2 et vaut $\frac{k}{k-2}$ pour k > 2.

Pour en savoir plus sur la loi de student et les différentes lois de probabilité, suivez des cours de statistiques.

Loi Exponentielle E(l)

Une loi exponentielle correspond au modèle suivant:

X est une variable aléatoire définissant la durée de vie d'un phénomène. Si l'espérance de vie du phénomène est E(X) et si la durée de vie est sans vieillissement, c'est-à-dire si la durée de vie au-delà de l'instant T est indépendante de l'instant T, alors X a pour densité de probabilité :

$f (t) = 0$ si t < 0
$f(t) = \dfrac{1}{E(X)}\mathrm{e}^{-\frac{t}{E(X)}}$ pour tout t ≥ 0.

On dit que X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{E(X)}$

De façon plus formelle on peut caractériser la loi exponentielle de la façon suivante:

$\forall (s, t)\in \R^{+\,2},\; \mathbb{P}(X>s+t|X>t)=\mathbb{P}(X>s)$

Une loi à valeurs dans $\R^+$ qui vérifie cette propriété est alors exponentielle et toute loi exponentielle vérifie cette probabilité. Cette propriété traduit l'absence de mémoire de la loi exponentielle. Par exemple, la probabilité qu'un phénomène se produise entre les temps t et t+s s'il ne s'est pas produit avant est la même que la probabilité qu'il se produise entre les temps 0 et s.

On peut oublier l'instant de départ pour modéliser la probabilité. Cette caractérisation est importante car elle permet de montrer que certains phénomènes peuvent être modélisés par une distribution exponentielle. Cette loi permet entre autres de modéliser la durée de vie de la radioactivité ou d'un composant électronique.

Pour en savoir plus sur la loi exponentielle et les différentes lois de probabilité, suivez des cours de statistiques.

Loi Normale centrée réduite

On appelle loi normale (ou gaussienne) centrée réduite la loi définie par la densité de probabilité $\varphi : \R \to \R^+$ définie par :

$\varphi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\;\pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}$

On vérifie que la loi normale centrée réduite est continue et que son intégrale sur $\ \R$ est égale à 1.

On sait en effet que $\ \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}\, \mathrm{d}t = \sqrt{2\, \pi}$ (intégrale de Gauss).

On démontre (voir plus bas) que la loi définie par cette densité de Loi Normale centrée réduite

probabilité admet une espérance nulle et une variance égale à 1.

Remarques :

la densité $\ \varphi$ est paire ;
elle est indéfiniment dérivable et vérifie, pour tout $\ t \in \R$ , l'identité $\varphi'(t) = - t\, \varphi(t)$ .

La représentation graphique de cette densité est une courbe en cloche (ou courbe de Gauss).

Pour en savoir plus sur la loi Normale centrée réduite et les différentes lois de probabilité, suivez des cours de statistiques.

Loi Gamma

En théorie des probabilités et en statistiques, une distribution Gamma, ou loi Gamma (ou $Γ$ , qui correspond au g (gamma) majuscule en grec), est un type de loi de probabilité de variables aléatoires réelles positives.

La famille des distributions Gamma inclut entre autres les lois exponentielles, les lois de sommes de variables aléatoires indépendantes suivant une même loi exponentielle, ainsi que la loi du χ². Elle permet donc de modéliser une grande variété de phénomènes pour des grandeurs positives.

Une variable aléatoire X suit une loi Gamma de paramètres

k

θ

(strictement positifs), ce que l'on note aussi $X \, \sim \Gamma(k, \theta)$ , si sa fonction de densité de probabilité peut se mettre sous la forme :

$f(x;k,\theta) = \frac{{x^{k - 1} e^{ - \frac{x}{\theta }} }}{{\Gamma \left( k \right) \theta ^k }}$

Alternativement, la distribution Gamma peut être paramétrée à l'aide d'un paramètre de forme

α = k

et d'un paramètre d'intensité

β = 1 / θ

$f(x;\alpha,\beta) = x^{\alpha-1} \frac{\beta^{\alpha} \, e^{-\beta\,x} }{\Gamma(\alpha)} \ \mathrm{pour}\ x > 0 \,\!.$

Les deux paramétrages sont aussi répandus, selon la configuration.

Pour en savoir plus sur la loi gamma et les différentes lois de probabilité, suivez des cours de statistiques.

Loi du Khi-deux (χ²)

La loi du $χ 2$ (prononcer « khi-deux » ou « khi carré ») est une loi à densité de probabilité. Cette loi est caractérisée par un paramètre dit degrés de liberté à valeur dans l'ensemble des entiers naturels (non nuls).

Soient $X_1, \ldots , X_k$

k

variables aléatoires indépendantes de même loi normale centrée et réduite, alors par définition la variable $X \$ , telle que

$X: \ =\sum_{i=1}^k X_i^2$

suit une loi du χ² à k degrés de liberté.

Soit $X~$ une variable aléatoire suivant une loi du χ² à $k~$ degrés de Loi du khi deux

liberté, on notera $\chi^2(k)~$ la loi de $X~$ .

Alors la densité de $X~$ notée $f_X~$ sera :

$f_X(t)=\frac{1}{2^\frac{k}{2}\Gamma(\frac{k}{2})} t^{\frac{k}{2} - 1} e^{-\frac{t}{2}}\,$ pour tout t positif

où Γ est la fonction gamma.

L'espérance mathématique de

X

vaut

k

et sa variance vaut

2 k

La principale utilisation de cette loi consiste à apprécier l'adéquation d'une loi de probabilité à une distribution empirique en utilisant le test du χ² basé sur la loi multinomiale. Plus généralement elle s'applique dans le test d'hypothèses à certains seuils (indépendance notamment).

Pour en savoir plus sur la loi du khi deux et les différentes lois de probabilité, suivez des cours de statistiques.

Loi de Poisson

En théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Poisson est une loi de probabilité discrète qui décrit le comportement du nombre d'évènements se produisant dans un laps de temps fixé, si ces évènements se produisent avec une fréquence moyenne connue et indépendamment du temps écoulé depuis l'évènement précédent.

La loi de Poisson est également pertinente pour décrire le nombre d'évènements dans d'autres types d'intervalles, spatiaux plutôt que temporels, comme des segments, surfaces ou volumes.

La loi de Poisson a été introduite en 1838 par Siméon-Denis Poisson (1781–1840), dans son ouvrage Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Le sujet principal de cet ouvrage consiste en certaines variables aléatoires N qui dénombrent, entre autres choses, le nombre d'occurrences (parfois appelées “arrivées”) qui prennent place pendant un laps de temps de longueur donnée.

Si le nombre moyen d'occurrences dans cet intervalle est λ, alors la probabilité qu'il existe exactement k occurrences (k étant un entier naturel, k = 0, 1, 2, ...) est

$p(k) = P(X = k)= e^{-\lambda}\frac{\lambda ^k}{k!}\,$

où

e est la base de l'exponentielle (2,718...)
k! est la factorielle de k
λ est un nombre réel strictement positif.

On dit alors que X suit la loi de Poisson de paramètre λ.

Par exemple, si un certain type d'évènements se produit en moyenne 4 fois par minute, pour étudier le nombre d'évènements se produisant dans un laps de temps de 10 minutes, on choisit comme modèle une loi de Poisson de paramètre λ = 10× 4 = 40.

Cours Vidéo sur la loi de poisson

Loi de Poisson : Loi des événements rares

Utilisation de la loi de poisson

Le domaine d'application de la loi de Poisson a été longtemps limité à celui des événements rares comme les suicides d'enfants, les arrivées de bateaux dans un port ou les accidents dus aux coups de pied de cheval dans les armées (étude de Ladislaus Bortkiewicz).

Mais depuis quelques décennies son champ d'application s'est considérablement élargi. Actuellement, on l'utilise beaucoup dans les télécommunications (pour compter le nombre de communications dans un intervalle de temps donné), le contrôle de qualité statistique (nombre de défauts en SPC), la description de certains phénomènes liés à la désintégration radioactive (la désintégration des noyaux radioactifs suivant, par ailleurs, une loi exponentielle de paramètre noté aussi lambda), la biologie (mutations), la météorologie, la finance pour modéliser la probabilité de défaut d'un crédit…

Pour en savoir plus sur la loi de poisson et les différentes lois de probabilité, suivez des cours de statistiques.

Loi Binomiale B(n,p)

En mathématiques, une loi binomiale de paramètres n et p est une loi de probabilité qui correspond à l'expérience suivante :

On renouvelle n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p (expérience aléatoire à deux issues possibles, généralement dénommées respectivement « succès » et « échec », la probabilité d'un succès étant p, celle d'un échec étant

q = (1 - p)

). On compte alors le nombre de succès obtenus à l'issue des n épreuves et on appelle X la variable aléatoire correspondant à ce nombre de succès.

L'univers $X(\Omega )~$ désigne l'ensemble des entiers naturels de 0 àn.

La variable aléatoire suit une loi de probabilité définie par :

$p(k) = P(X = k)= {n \choose k} \, p^k q^{n-k}$

Cette formule fait intervenir le nombre des combinaisons de k éléments parmi n, généralement notée ${n\choose k}$ ou $\mathrm{C}_{n}^{k}$ , la première notation était préconisée en France pour l'enseignement des mathématiques en terminale scientifique jusque 2004. Notons que ce nombre de combinaisons se distingue du nombre des arrangements de k éléments parmi n, $A^k_n = \dfrac{n!}{(n-k)!}$ , du fait que dans une combinaison l'ordre des éléments n'importe pas. Et comme il y a k! (prononcer factorielle k) façons d'ordonner k éléments, le nombre des combinaisons se déduit du nombre des arrangements par la simple division $\dfrac{A^k_n}{k!}\,$ et on obtient :

${n\choose k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Cette loi de probabilité s'appelle la loi binomiale de paramètre (n ; p) et se note B(n ; p).

Calcul de p(k)

Une épreuve de Bernoulli conduit à la création d'un univers Ω = {S ; E}, (S pour Succès et E pour Echec).

n épreuves de Bernoulli indépendantes conduisent à la création d'un univers Ωⁿ constitué de n-uplets d'éléments de Ω, sur lequel peut se définir une probabilité produit. La probabilité de l'éventualité (S, S, ..., S, E, E, ..., E) avec ksuccès et n - k échecs a donc pour valeur

p k q n - k

Plus généralement, tout n-uplet formé de k succès et de n-k échecs aura pour probabilité

p k q n - k

quel que soit l'ordre d'apparition des S et des E.

L'évènement « X = k » est formé de tous les n-uplets comportant k succès et n - k échecs. La combinatoire permet de déterminer le nombre de n-uplets de ce type : il y en a autant que de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments ; or chaque partie correspond à une façon de placer les k succès parmi les n places du n-uplet. Il y a donc ${n \choose k}$ n-uplets, chacun ayant une probabilité égale à

p k q n - k

Donc $P(X = k) = {n \choose k} \, p^k (1-p)^{n-k} = {n \choose k} \, p^k q^{n-k}$ .

Pour en savoir plus sur la loi binomiale et les différentes lois de probabilité, suivez des cours de statistiques.