En mathématiques, une loi binomiale de paramètres n et p est une loi de probabilité qui correspond à l'expérience suivante :
On renouvelle n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p (expérience aléatoire à deux issues possibles, généralement dénommées respectivement « succès » et « échec », la probabilité d'un succès étant p, celle d'un échec étant q = (1 − p)). On compte alors le nombre de succès obtenus à l'issue des n épreuves et on appelle X la variable aléatoire correspondant à ce nombre de succès.
L'univers
désigne l'ensemble des entiers naturels de 0 à
n.
La variable aléatoire suit une loi de probabilité définie par :
Cette formule fait intervenir le nombre des combinaisons de
k éléments parmi
n, généralement notée
ou
, la première notation était préconisée en France pour l'enseignement des mathématiques en terminale scientifique jusque 2004. Notons que ce nombre de combinaisons se distingue du nombre des arrangements de
k éléments parmi
n,
, du fait que dans une combinaison l'ordre des éléments n'importe pas. Et comme il y a
k! (prononcer factorielle k) façons d'ordonner
k éléments, le nombre des combinaisons se déduit du nombre des arrangements par la simple division
et on obtient :
Cette loi de probabilité s'appelle la
loi binomiale de paramètre (n ; p) et se note
B(n ; p).
Calcul de p(k)
Une épreuve de Bernoulli conduit à la création d'un univers Ω = {S ; E}, (S pour Succès et E pour Echec).
n épreuves de Bernoulli indépendantes conduisent à la création d'un univers Ωn constitué de n-uplets d'éléments de Ω, sur lequel peut se définir une probabilité produit. La probabilité de l'éventualité (S, S, ..., S, E, E, ..., E) avec ksuccès et n - k échecs a donc pour valeur pkqn − k.
Plus généralement, tout n-uplet formé de k succès et de n-k échecs aura pour probabilité pkqn − k quel que soit l'ordre d'apparition des S et des E.
L'évènement « X = k » est formé de tous les
n-uplets comportant
k succès et
n - k échecs. La combinatoire permet de déterminer le nombre de n-uplets de ce type : il y en a autant que de parties à
k éléments d'un ensemble à n éléments ; or chaque partie correspond à une façon de placer les k succès parmi les
n places du n-uplet. Il y a donc
n-uplets, chacun ayant une probabilité égale à
pkqn − k.
Donc
.
Pour en savoir plus sur la loi binomiale et les différentes lois de probabilité, suivez des cours de statistiques.
la distribution de Bernoulli a un kurtosis plus bas que toute autre distribution, c’est-à-dire 1.
Une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli est appelée variable de Bernoulli.
notée 
est donnée par :
pour k ≥ 1.
où Γ est la fonction Gamma d'Euler.
associée à la variable 
est symétrique, centrée sur 0, en forme de cloche.
pour k > 2.
pour tout t ≥ 0.
De façon plus formelle on peut caractériser la loi exponentielle de la façon suivante:
qui vérifie cette propriété est alors exponentielle et toute loi exponentielle vérifie cette probabilité. Cette propriété traduit l'absence de mémoire de la loi exponentielle. Par exemple, la probabilité qu'un phénomène se produise entre les temps t et t+s s'il ne s'est pas produit avant est la même que la probabilité qu'il se produise entre les temps 0 et s.
définie par :
est égale à 1.
(intégrale de Gauss).
probabilité admet une espérance nulle et une variance égale à 1.
est paire ;
, l'identité 
.
, si sa fonction de densité de probabilité peut se mettre sous la forme :
Alternativement, la distribution Gamma peut être paramétrée à l'aide d'un paramètre de forme α = k et d'un paramètre d'intensité β = 1 / θ:
k variables aléatoires indépendantes de même loi normale centrée et réduite, alors par définition la variable 
, telle que
une variable aléatoire suivant une loi du χ² à 
degrés de
liberté, on notera 
la loi de 
sera :
pour tout t positif
Si le nombre moyen d'occurrences dans cet intervalle est λ, alors la probabilité qu'il existe exactement k occurrences (k étant un entier naturel, k = 0, 1, 2, ...) est
